群的陪集分解

问题背景

教材写的很明白，陪集分解是为了研究不相交子群的抽象工具

接着通过一步步证明找出子群，元素阶的规律

比如整数群$\mathbb{Z}$和7的倍数构成的群$7\mathbb{Z}$，显然$7\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$

因此$\mathbb{Z}$表示成陪集分解形式：

$$\mathbb{Z} = \{i\mid 1+i,i\in 7\mathbb{Z}\} \cup \ldots \cup \{i\mid 6+i,i\in 7\mathbb{Z}\}$$

陪集定义

设群$G$的子群$H$，$a$是G中的一个元素。

定义$Ha$是右陪集

$$aH = \{ha \mid h \in H\}$$

同理$aH$是左陪集

性质

1. Ha和H的元素个数一样

2. $Ha = H \iff a \in H$

   证明充分性

   $Ha = H \implies \exists h_1, h_2 \in H, h_1a = h_2$

   移项得

   $a=h_2h_1^{-1}$

   而

   $h_2h_1^{-1} \in H$

   所以

   $a \in H$

   证明充分性

   $a\in H \implies \forall h \in H, ha \in H$

   由陪集定义得

   $Ha = \{ha \mid h \in H\} = H$

3. $a\in Ha$

   即证明 $\forall h, \exists h', ha=h' \implies a\in H$

   由条件得 $a=h^{-1}h'\in H$

   恒成立

   a可以称为$Ha$的陪集代表

4. $\exists H,a,\forall b \in Ha \implies Ha = Hb$

   证明

   由条件得

   $b = ha$

   $Hb = Hha = Ha$

5. $Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H$

   充分性：

   $\exists h_a,h_b,a,b, \quad h_aa = h_bb \implies ab^{-1}\in H$

   由条件得

   $a = h_a^{-1}h_bb$

   $ab^{-1} = h_a^{-1}b_b \in H$

   必要性：

   $ab^{-1}\in H \implies Ha = Hb$

   由条件和定理2得

   $Hab^{-1} = H$

   变形得 $Ha = Hb$

6. $\forall Ha,Hb \implies Ha = Hb \lor Ha \cap Hb = \emptyset$

陪集分解

由陪集的性质可知，$G$可以写成子群$H$右陪集的并：

$$G = \bigcup_{i=1}^rHa_i$$

其中$r$被称为$H$对$G$的指数，写作$\mid G \colon H \mid$

显然陪集的并是空集

$$\bigcap_{i=1}^rHa_i = \emptyset$$

类似的左陪集也有相同的性质，左右陪集的指数是相等的。

拉格朗日定理

群论最重要的定理之一

$$\mid G \mid = \mid H \mid \cdot \mid G \colon H \mid$$

由1和陪集指数性质可证

拉格朗日定理推论

有限阶群$G$，每个元素的阶都是$\mid G \mid$的因子

$\forall x \in G, x^{ord(G)} = e$

证明：

$$\exists a \in G, ord(a) = m \\ 令H = \langle a \rangle \le G \\ 有\mid H \mid = m \\ 由拉格朗日定理得：m \mid ord(G)$$

陪集定理

设

$$G \ge H \ge k$$

有

1. $\mid G \colon K \mid = \mid G \colon H \mid \cdot \mid H \colon K \mid$

$$G = \bigcup_{i=1}^m Hg_i, H = \bigcup_{i=i}^l Kh_i \implies G = \bigcup_{i=1}^m {\bigcup_{j=1}^l Kh_jg_i} \land Kh_1g_1 = K$$

G = \bigcup_{i=1}^mKa_i \implies 存在某种排列\tau，使得\forall i, H_i = \bigcup_{i=1}^mKa_{\tau(i)}\

证明略