循环群

循环群的定义

设 $G$ 是一个群，$a \in G$。

由元素 $a$ 的所有整数次幂组成的集合记为：

$$\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\}$$

如果群 $G$ 中的每个元素都可以写成 $a$ 的整数次幂：

$$G = \langle a \rangle$$

则称 $G$ 为循环群，称 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。

这里约定：

$$a^0 = e,\qquad a^{-n} = (a^{-1})^n$$

定理：生成的集合是子群

集合 $\langle a \rangle$ 本身是 $G$ 的子群。

任取 $a^m, a^n \in \langle a \rangle$：

$$a^m(a^n)^{-1} = a^m a^{-n} = a^{m-n} \in \langle a \rangle$$

根据子群判定法：

$$\langle a \rangle \le G$$

定理：循环群一定是交换群

设 $x,y \in \langle a \rangle$，则存在 $m,n \in \mathbb{Z}$，使得：

$$x = a^m,\qquad y = a^n$$

于是：

$$xy = a^m a^n = a^{m+n}$$

而：

$$yx = a^n a^m = a^{n+m}$$

因为整数加法满足交换律，所以：

$$xy = yx$$

因此循环群一定是交换群。

有限循环群和无限循环群

如果存在正整数 $r$，使得：

$$a^r = e$$

则 $a$ 是有限阶元素。设 $a$ 的阶为 $r$，那么：

$$\langle a \rangle = \{e,a,a^2,\ldots,a^{r-1}\}$$

并且：

$$|\langle a \rangle| = r$$

如果不存在这样的正整数，则称 $a$ 为无限阶元素，此时：

$$\langle a \rangle = \{\ldots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\ldots\}$$

有限阶循环群性质

设 $a$ 的阶为 $r$。对于任意整数 $m,n$：

$$a^m = a^n \iff r \mid (m-n)$$

因此，有限循环群中的幂只需要考虑指数对 $r$ 取模后的结果。

例如，在 $\langle a\rangle$ 中：

$$a^{r+3} = a^3$$

设 $a$ 的阶为 $r$。对于任意整数 $m,n$：

$$a^m = a^n \iff r \mid (m-n)$$

因此，有限循环群中的幂只需要考虑指数对 $r$ 取模后的结果。

例如，在 $\langle a\rangle$ 中：

$$a^{r+3} = a^3$$

设 $G = \langle a\rangle$，且 $|G|=r$。

元素 $a^k$ 也是生成元，当且仅当：

$$\gcd(k,r)=1$$

证明如下。元素 $a^k$ 生成的子群为：

$$\langle a^k\rangle = \{a^{km}\mid m\in\mathbb{Z}\}$$

由于 $a^k\in\langle a\rangle$，总有：

$$\langle a^k\rangle\subseteq\langle a\rangle$$

因此，$a^k$ 是 $\langle a\rangle$ 的生成元，当且仅当 $a$ 能够表示成 $a^k$ 的某个整数次幂。也就是：

$$a^k\text{ 是生成元} \iff \exists m\in\mathbb{Z},\ (a^k)^m=a$$

进一步：

$$(a^k)^m=a \iff a^{km}=a \iff km \equiv 1 \pmod r$$

同余式表示存在整数 $s$，使得：

$$km-1=sr$$

也就是：

$$km-sr=1$$

根据 Bézout 定理，这个整数方程有解，当且仅当：

$$\gcd(k,r)=1$$

所以 $r$ 阶循环群的生成元个数为欧拉函数 $\varphi(r)$。

无限阶循环群性质

设 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群。由于 $a$ 是无限阶元素，对于任意整数 $m,n$，都有：

$$a^m=a^n \iff m=n$$

也就是说，无限循环群中的不同指数会产生不同的元素。

定理：无限循环群只有两个生成元

无限循环群 $G=\langle a\rangle$ 的生成元只有：

$$a \quad\text{和}\quad a^{-1}$$

证明如下。假设 $a^k$ 也是 $G$ 的生成元，那么 $a$ 必须能够表示成 $a^k$ 的某个整数次幂。因此存在整数 $m$，使得：

$$(a^k)^m=a$$

整理指数：

$$a^{km}=a$$

因为 $a$ 是无限阶元素，不同的指数不会得到同一个元素，所以：

$$km=1$$

整数方程 $km=1$ 只有两组解：

$$(k,m)=(1,1)\quad\text{或}\quad(k,m)=(-1,-1)$$

所以 $k=1$ 或 $k=-1$。

反过来：

$$\langle a\rangle=G$$

显然 $a$ 是生成元；而：

$$\langle a^{-1}\rangle =\{(a^{-1})^m\mid m\in\mathbb Z\} =\{a^{-m}\mid m\in\mathbb Z\} =\langle a\rangle$$

因此 $a^{-1}$ 也是生成元。

例如，$a^2$ 不能生成 $a$，因为如果存在整数 $m$ 使：

$$(a^2)^m=a$$

则必须有 $2m=1$，但这个方程没有整数解。类似地，$a^{-2}$ 也不是生成元。

这也可以通过同构来理解。无限循环群满足：

$$G\cong(\mathbb Z,+)$$

同构关系为：

$$n\longmapsto a^n$$

在整数加法群中，只有 $1$ 和 $-1$ 能生成整个 $\mathbb Z$，因此在 $G$ 中对应的生成元也只有 $a$ 和 $a^{-1}$。

循环群的子群

设 $G=\langle a\rangle$，$H\leq G$。因为 $G$ 中的每个元素都是 $a$ 的某个 整数次幂，所以 $H$ 中的元素也都可以写成：

$$a^n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$

定理：循环群的每个子群都是循环群

如果 $H$ 是 $G=\langle a\rangle$ 的子群，那么 $H$ 也是循环群。

证明如下。先考虑 $H\neq\{e\}$ 的情形，定义：

$$S=\{n\in\mathbb{Z}\mid a^n\in H\}$$

由于 $H$ 不是平凡子群，$S$ 中存在正整数。取 $S$ 中最小的正整数， 记为 $d$。于是：

$$a^d\in H$$

任取 $a^n\in H$。根据带余除法，可以写成：

$$n=qd+r,\qquad 0\leq r<d$$

于是：

$$a^r=a^{n-qd}=a^n(a^d)^{-q}\in H$$

由于 $d$ 是 $S$ 中最小的正整数，只能有 $r=0$。因此 $n=qd$，从而：

$$a^n=(a^d)^q$$

这说明 $H$ 中的每个元素都属于 $\langle a^d\rangle$。另一方面， $a^d\in H$，所以它的所有整数次幂也都在 $H$ 中。因此：

$$H=\langle a^d\rangle$$

如果 $H=\{e\}$，则可以写成：

$$H=\langle e\rangle=\langle a^0\rangle$$

所以循环群的每个子群都是循环群。

无限循环群的子群

设 $G=\langle a\rangle$ 是无限循环群。此时它的所有子群都可以写成：

$$\langle a^d\rangle,\qquad d\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$$

其中：

• $d=0$ 时，$\langle a^0\rangle=\{e\}$；
• $d>0$ 时，$\langle a^d\rangle$ 是无限循环群。

例如：

$$\langle a^2\rangle =\{\ldots,a^{-4},a^{-2},e,a^2,a^4,\ldots\}$$

它只包含指数为偶数的幂，所以不包含 $a$。

类似地：

$$\langle a^3\rangle =\{\ldots,a^{-6},a^{-3},e,a^3,a^6,\ldots\}$$

在无限循环群中，不同的非负整数 $d$ 对应不同的子群。

有限循环群的子群

设 $G=\langle a\rangle$，且 $|G|=n$。此时每个子群都可以写成：

$$H=\langle a^d\rangle$$

其中 $d$ 是 $n$ 的正因数：

$$d\mid n$$

这是因为 $a^n=e\in H$，所以 $n\in S$。将 $n$ 除以 $d$ 时，前面的 带余除法论证说明余数必须为 $0$，因此 $d\mid n$。

子群 $\langle a^d\rangle$ 中的元素为：

$$\langle a^d\rangle =\{e,a^d,a^{2d},\ldots,a^{(\frac nd-1)d}\}$$

其阶为：

$$|\langle a^d\rangle|=\frac nd$$

因此，有限循环群的子群与 $n$ 的正因数一一对应：

$$d\mid n \quad\longleftrightarrow\quad \langle a^d\rangle$$

如果想要寻找阶为 $d$ 的子群，其中 $d\mid n$，则应该取：

$$\left\langle a^{\frac nd}\right\rangle$$

因为：

$$\left|\left\langle a^{\frac nd}\right\rangle\right| =\frac{n}{n/d} =d$$

例如，若 $|G|=12$，则其子群为：

$$\langle a\rangle,\quad \langle a^2\rangle,\quad \langle a^3\rangle,\quad \langle a^4\rangle,\quad \langle a^6\rangle,\quad \langle a^{12}\rangle$$

它们的阶分别为：

$$12,\ 6,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1$$

因此，$12$ 阶循环群共有 $\tau(12)=6$ 个子群，其中 $\tau$ 表示正因数 的个数。

典型例子

整数加法群

整数加法群 $\mathbb{Z}$ 是循环群：

$$\mathbb{Z} = \langle 1\rangle$$

这里的群运算是加法，$1$ 的“幂”对应整数倍：

$$n\cdot 1 = n$$

$-1$ 也是 $\mathbb{Z}$ 的生成元。

模 $r$ 加法群

模 $r$ 的加法群 $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ 也是循环群：

$$\mathbb{Z}/r\mathbb{Z} = \langle \overline{1}\rangle$$

它有 $r$ 个元素，生成元为所有满足 $\gcd(k,r)=1$ 的 $\overline{k}$。