整体归纳法和代入法，没啥难度

• 引入 Rocq 来证明群论习题

ex1.1

如果r = 2

$$要证明 (a_1 \cdot a_2)^{-1} = a_2^{-1} \cdot a_1^{-1} \\ 就要证明 e = a_2^{-1} \cdot a_1^{-1} \cdot (a_1 \cdot a_2)\\ 就要证明 a_1 \cdot a_2 = a_1 \cdot a_2 \\ 恒成立$$

如果存在k，k >= 2，有

$$(a_1 \cdot a_2 \ldots a_k)^{-1} = a_k^{-1} \ldots a_2^{-1} \cdot a_1^{-1} \\$$

对于r = k + 1

$$要证明 (a_1 \cdot a_2 \ldots a_k \cdot a_{k+1})^{-1} = a_{k+1}^{-1} \cdot a_k^{-1} \ldots a_2^{-1} \cdot a_1^{-1} \\ 就要证明 (a_1 \cdot a_2 \ldots a_k \cdot a_{k+1})^{-1} = a_{k+1}^{-1} \cdot (a_1 \cdot a_2 \ldots a_k)^{-1} \\ 就要证明 a_1 \cdot a_2 \ldots a_k \cdot a_{k+1} = a_1 \cdot a_2 \ldots a_k \cdot a_{k+1} \\ 恒成立$$

ex1.2

$$即证明 \forall a \in G，a^2 = e \implies \\ \forall a，b \in G，a \cdot b = b \cdot a \\ 就要证明 a \cdot b \cdot a \cdot b = b \cdot a \cdot a \cdot b \\ 就要证明 (a \cdot b) ^ 2 = e \\ 恒成立$$

ex1.3

若a，b有1个是无限阶，显然1，2恒成立

假设a，b的有限阶，且分别为$o_a$，$o_b$

ex1.3.1

$$化简得 a^{-k} = e \\ e = a^k \\ 由阶的性质得到 k = o_a \\ (a^{-1}ba)^k = e \\ 展开得a^{-1}b^ka = e \\ 得到b^k = e\\ 由阶的性质得到k = o_b$$

ex1.3.2

$$ab = a(ba)a^{-1} \\ 代入1得恒成立$$

ex1.4

$$已知a^n = e \\ 要证明a^m的阶为n/\gcd(m,n) \\ 设ord(a^m) = k，则(a^m)^k = e \\ 设d=\gcd(m，n)，n = n_1d, m = m_1d \\ 即证明a^m的阶为n_1 \\ (a^m)^{n_1} = a^{m_1dn_1} = (a^n)^{m_1}=e 恒成立 \\ 由阶的性质得到k \mid n_1 \\ 由阶的性质得n \mid mk \\ 即n_1 \mid m_1k \\ 由条件得\gcd(n_1，m_1) = 1 \\ 则 n_1 \mid k \\ k = n_1$$

ex1.5

todo 循环群，数论，超纲

ex1.6

$$(b^{-1}ab)^2 = b^{-1}eb = e \\ 且b^{-1}ab \neq e \\ 则b^{-1}ab的阶为2 \\ 由于g中阶为2的元素只有a\\ b^{-1}ab = a \\ 得ab = ba$$

ex1.7

还没学？

$$即证明\forall g，|g| = 4 \implies \\ \forall a，b\in g，ab = ba \\$$