群的置换表示

任何群都和一个置换群同构。

右正则表示

设$G = \{e, a_1 \cdots a_n\}$

取$a_i\in G$，依次右乘$G$中的元素

$\begin{aligned} &e \quad &a_1 \quad &\cdots \quad &a_n \\ &a_i \quad &a_1a_i \quad &\cdots \quad &a_na_i \end{aligned}$

右乘得到的元素互不相通且都是$G$的元素

所以这是一个置换，简写：

$a \\ aa_i$

记作$\sigma_i$

显然$e$作用后的置换是恒等置换

将$n$个元素分别作用，得到一个置换群

$R_G = \{\sigma_1, \cdots \sigma_n\}$

$R_G \cong G$

证明：

设$a_i^{\varphi} = \sigma_i$

$(a_ia_j)^{\varphi}$可以表示成置换

$a \\ aa_ia_j$

和$\sigma_i\sigma_j$

$\begin{aligned} &a \\ &aa_i \end{aligned} \cdot \begin{aligned} &a \\ &aa_j \\ \end{aligned}$

相等

所以同构

caylay定理

n阶群都和一个n元置换群同构

左正则表示

类比右正则，左正则的一个置换$\sigma_i$为

$a \\ a_i^{-1}a$

同样的，左正则群$L_G\cong G$

证明：

$(a_ia_j)^{\varphi}$可以表示成置换

$a \\ a_j^{-1}a_i^{-1}a$

和$\sigma_i\sigma_j$

$\begin{aligned} &a \\ &a_i^{-1}a \end{aligned} \cdot \begin{aligned} &a \\ &a_j^{-1}a \\ \end{aligned}$

相等

所以同构

陪集置换表示

如果群的元素比较多，如果每个元素算一个n元置换，我们可能表示成置换会比较复杂。而且$n!$远大于$n$

可以考虑使用对子群的陪集分解的位置交换来简化，简化成$r$元置换

$S_{GH} \sim G$

这里略微超纲，陪集置换表示不一定同构